1.a

ta có: \(\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

 = m^2-m^2+1=1>0

vậy pt luôn có 2 no vs mọi m

a)\(\Delta=m^2-\left(m+1\right)\left(m-1\right)=m^2-m^2+1=1\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm với mọi m

b)

Theo hệ thức Vi ét ,ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m}{m-1}\\x_1\cdot x_2=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}\end{cases}}\)

mà \(\frac{m+1}{m-1}=5\Rightarrow m=1,5\)

vậy \(x_1\cdot x_2=\frac{2m}{m-1}=6\)

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m}{m-1}=2+\frac{2}{m-1}\\x_1\cdot x_2=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1\cdot x_2=2+\frac{2}{m-1}-1-\frac{2}{m-1}=1\)

c)

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{5}{2}=0\Rightarrow\frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+3x_1x_2}{2x_1x_2}=0\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+3x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{2m}{m-1}\right)^2+\frac{3\left(m+1\right)}{m-1}=0\Rightarrow m=\pm\sqrt{\frac{3}{7}}\)

a) Thay \(x=0\) vào phương trình ta có:

\(\left(m-1\right).0^2-2m.0+m+1=0.\\ \Leftrightarrow m+1=0.\\ \Leftrightarrow m=-1.\)

b) Ta có: \(\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right).\)

 \(\Delta'=m^2-\left(m^2-1\right).\\ =m^2-m^2+1.\\ =1>0.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m+1}{m-1}.\\x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}.\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài: \(x_1.x_2=5.\)

\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{m-1}=5.\\ \Leftrightarrow m+1=5m-5.\\ \Leftrightarrow4m-6=0.\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}.\)

Thay \(m=\dfrac{3}{2}\) vào \(\left(1\right):\)

\(x_1+x_2=\) \(\dfrac{2.\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-1}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=6.\)

a) x = 0 là nghiệm của phương trình

=> (m-1).0² -2.m.0 + m + 1 = 0

<=> m + 1 = 0 <=> m = -1

vậy m = -1 thì pt có nghiệm là x = 0

b) PT có 2 nghiệm thì trước hết pt đã cho là phương trình bậc 2 <=> m - 1\(\ne\) 0 <=> m \(\ne\)1

 \(\Delta\)' = (-m)² - (m - 1)(m +1) = m² - (m² - 1) = 1 > 0

=> phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

x₁ = \(\frac{m+1}{m-1}\) ; x₂ = \(\frac{m-1}{m-1}\) = 1

+) Để x₁ .x₂ = 5 <=> \(\frac{m+1}{m-1}\) = 5 <=> m +1 = 5( m - 1)

<=> m +1 = 5m - 5

<=> 6 = 4m <=> m = 3/2 (Thoả mãn)

+) Khi đó x₁  + x₂ = \(\frac{m+1}{m-1}\) + 1 = \(\frac{m+1+m-1}{m-1}=\frac{2m}{m-1}=\frac{2.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

Mình không đồng ý với phần tìm đen-ta của bạn Trần Thị Loan

Phương trình (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 ( a=m-1; b=-2m; c=m+1)

​đen-ta = (-2m)² - 4.(m-1).(m=1)=4

Vì đen-ta = 4 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Phần b) còn cách 2 ngắn hơn như sau :

Để (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 thì m-1\(\ne\)0 \(\Leftrightarrow m\ne1\)

Vì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình nên áp dụng hệ thức Vi-ét ta có :

\(x_1.x_2=5\\ \Leftrightarrow\frac{m+1}{m-1}=5\\ \Leftrightarrow m+1=5.\left(m-1\right)\\ \Leftrightarrow m+1=5m-5\\ \Leftrightarrow-4m=-6\\ m=\frac{3}{2}\left(tmđk\right)\)

Vậy \(m=\frac{3}{2}\)thì phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 

\(x_1+x_2=\frac{m+1}{m-1}+1=\frac{m+1}{m-1}+\frac{m-1}{m-1}=\frac{m+1+m-1}{m-1}=\frac{2m}{m-1}\left(1\right)\)

Thay \(m=\frac{3}{2}\)vào (1) ta được :

\(\frac{2.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

Thay `x=-2` vào pt ta có:

\(\left(m-3\right).\left(-2\right)^2-2.m.\left(-2\right)+m+2=0\\ \Leftrightarrow\left(m-3\right).4+4.m+m+2=0\\ \Leftrightarrow4m-12+4m+m+2=0\\ \Leftrightarrow9m-10=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{10}{9}\)

Vậy để pt có 1 nghiệm là `x=-2` thì `m=10/9`

b) Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(m-1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2-m+1\ge0\)

Điều này hiển nhiên vì \(m^2-m+1=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall m\)

Theo đề bài suy ra \(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=4\) (bình phương hai vế của giả thiết)

Chị thay tiếp vô hệ thức Viet và em không chắc.

Xét \(\Delta^,=\left(-m\right)^2-\left(m-1\right)\)\(=m^2-m+1\)

          \(=(m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}\)\(=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)với mọi m

  Theo Vi- ét :\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=m-1\end{cases}}\)(1)

 Theo bài ra ta có : \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\)

                              \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow x_1+2\sqrt{x_1\cdot x_2}+x_2=4\)

                              \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2\sqrt{x_1\cdot x_2}=4\)(*)

                           Thay (1) vào (*) ta được :

                                         \(2m+2\sqrt{m-1}=4\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{m-1}=4-2m\)

                                        \(\Leftrightarrow\sqrt{m-1}=2-m\)\(\Leftrightarrow\sqrt{m-1}^2=\left(2-m\right)^2\)

                                         \(\Leftrightarrow|m-1|=4-4m+m^2\)

                                         \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m-1=4-4m+m^2\\m-1=-4+4m-m^2\end{cases}}\)

                                          \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m^2-5m+5=0\left(2\right)\\m^2-3m+3=0\left(3\right)\end{cases}}\)

      \(\Delta_{\left(2\right)}=\left(-5\right)^2-4\cdot5=5>0\)

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2};m_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\)

\(\Delta_{\left(3\right)}=\left(-3\right)^2-4\cdot3=-3< 0\)

=> phương trình vô nghiệm

   KL : ....

kb vs mk nha

Cho pt \(x^2-2mx+m-1=0\)    (1)

\(\Delta'=m^2+1\)

Vì \(m^2\ge0\)

\(\Rightarrow m^2+1\ge1\Rightarrow\Delta'>0\)

Với \(\Delta'>0\)thì phương trình (1)có 2 nghiệm phân biệt x₁;x₂

Theo Vi-et ta có:\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m-1\end{cases}\left(2\right)}\)

Theo bài ra ta có \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\)

                     \(\Leftrightarrow\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=2\left(3\right)\)

                        \(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1.x_2}=4\)

Thay (2) vào (3) ta được \(2m+2\sqrt{m-1}=4\)

                                    \(\Leftrightarrow2m+2\sqrt{m}-2=4\)

                                   \(\Leftrightarrow2m+2\sqrt{m}=6\)

                                  \(\Leftrightarrow2\sqrt{m}\left(\sqrt{m}+1\right)=6\)

                                    \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\sqrt{m}=6\\\sqrt{m}+1=6\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{m}=3\\\sqrt{m}=5\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=9\\m=25\end{cases}}}\left(TM\right)\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}m=9\\m=25\end{cases}}\) là giá trị cần tìm